미적분학 과 위상수학 에서 다르부 함수 (영어 : Darboux’s function )는 연결 집합 의 상 이 연결 집합인 함수 이다.[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 구간 의 상이 구간인 함수와 동치 이다. 다르부 정리 (영어 : Darboux’s theorem ) 또는 다르부 중간값 정리 (영어 : Darboux’s intermediate value theorem )에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 미분 가능 함수 의 도함수 는 항상 다르부 함수이다. 이는 중간값 정리 의 한 가지 일반화이다.
두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시키면, 다르부 함수 라고 한다.
연결 집합 의 상 은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
에 대하여,
f
(
A
)
⊆
Y
{\displaystyle f(A)\subseteq Y}
는 연결 집합이다.
실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간 이다. 따라서, 구간
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
위에 정의된 함수
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
다르부 함수이다.
구간 의 상 은 구간이다. 즉, 임의의
a
,
b
∈
I
{\displaystyle a,b\in I}
및
y
∈
(
f
(
a
)
,
f
(
b
)
)
∪
(
f
(
b
)
,
f
(
a
)
)
{\displaystyle y\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))}
에 대하여,
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
인
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in (a,b)}
가 존재한다.
기수
κ
{\displaystyle \kappa }
가 주어졌다고 하자. 위상 공간
X
{\displaystyle X}
과 집합
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시키면,
κ
{\displaystyle \kappa }
-어디서나 전사 함수 (영어 :
κ
{\displaystyle \kappa }
-everywhere surjective function )라고 한다.
임의의
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
에 대하여,
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle f^{-1}(y)}
는
κ
{\displaystyle \kappa }
-조밀 집합 이다 (즉, 임의의 공집합 이 아닌 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
에 대하여,
|
U
∩
f
−
1
(
y
)
|
≥
κ
{\displaystyle |U\cap f^{-1}(y)|\geq \kappa }
).
1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수 (영어 : everywhere surjective function )라고 한다. 즉, 임의의
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
에 대하여,
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle f^{-1}(y)}
는 조밀 집합 이어야 한다. 이는 임의의 공집합 이 아닌 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
에 대하여,
f
(
U
)
=
Y
{\displaystyle f(U)=Y}
인 조건과 동치 이다. 위상 공간
X
{\displaystyle X}
위의
|
X
|
{\displaystyle |X|}
-어디서나 전사 함수
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
를 강하게 어디서나 전사 함수 (영어 : strongly everywhere surjective function )라고 한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
과 집합
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수 (영어 : perfectly everywhere surjective function )라고 한다.
임의의 공집합 이 아닌 완전 집합
P
⊆
X
{\displaystyle P\subseteq X}
에 대하여,
f
(
P
)
=
Y
{\displaystyle f(P)=Y}
두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시키면, 둘레 연속 함수 (영어 : peripherally continouous function )라고 한다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
및 열린 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
,
V
∋
f
(
x
)
{\displaystyle V\ni f(x)}
에 대하여,
cl
W
⊆
U
{\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq U}
,
f
(
∂
W
)
⊂
V
{\displaystyle f(\partial W)\subset V}
인 열린 근방
W
∋
x
{\displaystyle W\ni x}
가 존재한다.
중간값 정리 에 따르면, 모든 연속 함수 는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다.
함수
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다.
완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀 그래프 를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수
각 함의의 역은 성립하지 않는다.
다르부 정리 에 따르면, 임의의 폐구간
[
a
,
b
]
⊆
R
{\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} }
및 미분 가능 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
에 대하여, 도함수
f
′
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f'\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
는 다르부 함수이다. 특히, 임의의
y
∈
(
f
′
(
a
)
,
f
′
(
b
)
)
∪
(
f
′
(
b
)
,
f
′
(
a
)
)
{\displaystyle y\in (f'(a),f'(b))\cup (f'(b),f'(a))}
에 대하여,
f
′
(
x
)
=
y
{\displaystyle f'(x)=y}
인
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in (a,b)}
가 존재한다.[ 5] :224–225
편의상
f
′
(
a
)
<
y
<
f
′
(
b
)
{\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}
라고 하자.
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
g
:
t
↦
y
t
−
f
(
t
)
{\displaystyle g\colon t\mapsto yt-f(t)}
라고 하자. 그렇다면
g
{\displaystyle g}
는 연속 함수 이며, 어떤
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
에서 최댓값
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
를 갖는다 (최대 최소 정리 ).
이제,
x
=
a
{\displaystyle x=a}
라고 가정하자. 그렇다면
g
(
a
)
{\displaystyle g(a)}
가 최댓값이므로, 임의의
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
에 대하여
0
≥
(
g
(
t
)
−
g
(
a
)
)
/
(
t
−
a
)
{\displaystyle 0\geq (g(t)-g(a))/(t-a)}
이다. 따라서
0
≥
g
′
(
a
)
=
y
−
f
′
(
a
)
{\displaystyle 0\geq g'(a)=y-f'(a)}
이며, 이는 모순이다. 즉,
x
≠
a
{\displaystyle x\neq a}
이다. 마찬가지로
x
≠
b
{\displaystyle x\neq b}
임을 보일 수 있다. 이에 따라
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in (a,b)}
이며,
0
=
g
′
(
x
)
=
y
−
f
′
(
x
)
{\displaystyle 0=g'(x)=y-f'(x)}
이다 (페르마 임계점 정리 ). 즉,
f
′
(
x
)
=
y
{\displaystyle f'(x)=y}
이다.
모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
인
2
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}
차원 실수 벡터 공간 이 존재한다. 즉, 중간값 정리 의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체
K
{\displaystyle K}
위의 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
의 부분 집합
M
⊂
V
{\displaystyle M\subset V}
에 대하여,
λ
(
M
)
{\displaystyle \lambda (M)}
이
W
⊂
M
∪
{
0
}
{\displaystyle W\subset M\cup \{0\}}
인
κ
{\displaystyle \kappa }
차원 부분 벡터 공간
W
⊂
V
{\displaystyle W\subset V}
가 존재하지 않는 가장 작은 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
라고 하자. (특히,
λ
(
M
)
{\displaystyle \lambda (M)}
이 따름 기수
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
일 경우,
κ
{\displaystyle \kappa }
는 벡터 공간
W
⊂
M
∪
{
0
}
{\displaystyle W\subset M\cup \{0\}}
의 최대 차원이다.) 그렇다면,
V
=
R
R
{\displaystyle V={\mathbb {R} }^{\mathbb {R} }}
에 대하여 다음 결과들이 있다.
M
{\displaystyle M}
λ
(
M
)
{\displaystyle \lambda (M)}
완전 어디서나 전사 함수
(
2
2
ℵ
0
)
+
{\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}
[ 3] :83, Table 1
완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수
(
2
2
ℵ
0
)
+
{\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}
[ 3] :83, Table 1
강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수
(
2
2
ℵ
0
)
+
{\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}
[ 3] :83, Table 1
어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수
(
2
2
ℵ
0
)
+
{\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}
[ 3] :83, Table 1
다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수
(
2
2
ℵ
0
)
+
{\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}
[ 3] :83, Table 1
전사 연속 함수
(
2
ℵ
0
)
+
{\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{+}}
[ 4]
단사 함수
1
+
{\displaystyle 1^{+}}
[ 3] :83, Theorem 2.17
함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
{
sin
(
1
/
x
)
x
≠
0
0
x
=
0
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}
는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다.
임의의 무한 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
및 크기
κ
{\displaystyle \kappa }
의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 1]
어디서나 전사 함수
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
가 존재한다.
임의의 공집합 이 아닌 열린집합 의 크기가
κ
{\displaystyle \kappa }
이며, 또한
κ
{\displaystyle \kappa }
개의 서로소 조밀 집합 을 갖는다.
구체적으로,
κ
{\displaystyle \kappa }
개의 서로소 조밀 집합 들의 집합
F
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
와 전단사 함수
ϕ
:
F
→
X
{\displaystyle \phi \colon {\mathcal {F}}\to X}
가 주어졌을 때, 함수
f
:
X
→
X
{\displaystyle f\colon X\to X}
f
:
x
↦
{
ϕ
(
D
)
x
∈
D
∈
F
0
x
∉
D
∀
D
∈
F
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi (D)&x\in D\in {\mathcal {F}}\\0&x\not \in D\forall D\in {\mathcal {F}}\end{cases}}}
는 어디서나 전사 함수이다. 특히,
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
의 경우
F
=
R
/
Q
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {R} /\mathbb {Q} }
로 취할 수 있다.
강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수[ 편집 ]
콘웨이 13진 함수 (영어 : Conway base-13 function )
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
는 다음과 같다.
만약
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
의 13진법 전개가
x
=
a
1
a
2
⋯
a
p
.
b
1
b
2
⋯
b
q
A
c
1
c
2
…
c
r
C
d
1
d
2
d
3
⋯
(
13
)
{\displaystyle x=a_{1}a_{2}\cdots a_{p}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}\mathrm {A} c_{1}c_{2}\dots c_{r}\mathrm {C} d_{1}d_{2}d_{3}\cdots _{(13)}}
(
a
i
,
b
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
9
,
A
,
B
,
C
}
{\displaystyle a_{i},b_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}}
,
c
i
,
d
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
9
}
{\displaystyle c_{i},d_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}}
) 꼴이라면,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 십진법 전개는
f
(
x
)
=
c
1
c
2
⋯
c
r
.
d
1
d
2
d
3
⋯
{\displaystyle f(x)=c_{1}c_{2}\cdots c_{r}.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots }
이다.
만약
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
의 13진법 전개가
x
=
a
1
a
2
⋯
a
p
.
b
1
b
2
⋯
b
q
B
c
1
c
2
…
c
r
C
d
1
d
2
d
3
⋯
(
13
)
{\displaystyle x=a_{1}a_{2}\cdots a_{p}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}\mathrm {B} c_{1}c_{2}\dots c_{r}\mathrm {C} d_{1}d_{2}d_{3}\cdots _{(13)}}
(
a
i
,
b
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
9
,
A
,
B
,
C
}
{\displaystyle a_{i},b_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}}
,
c
i
,
d
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
9
}
{\displaystyle c_{i},d_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}}
) 꼴이라면,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 십진법 전개는
f
(
x
)
=
−
c
1
c
2
⋯
c
r
.
d
1
d
2
d
3
⋯
{\displaystyle f(x)=-c_{1}c_{2}\cdots c_{r}.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots }
이다.
만약
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면,
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
이다.
콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.
어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)[ 1]
강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의
y
≠
0
{\displaystyle y\neq 0}
의 원상은 가산 무한 집합 이다.)
주기 1의 주기 함수 이다.[ 1]
유리수 의 상 은 유리수이다.[ 1]
완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수[ 편집 ]
끝점이 유리수인 모든 개구간 의 집합
{
(
a
i
,
b
i
)
:
i
∈
N
}
{\displaystyle \{(a_{i},b_{i})\colon i\in \mathbb {N} \}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합
C
0
⊂
(
a
0
,
b
0
)
{\displaystyle C_{0}\subset (a_{0},b_{0})}
C
1
⊂
(
a
1
,
b
1
)
∖
C
0
{\displaystyle C_{1}\subset (a_{1},b_{1})\setminus C_{0}}
C
2
⊂
(
a
2
,
b
2
)
∖
(
C
0
∪
C
1
)
{\displaystyle C_{2}\subset (a_{2},b_{2})\setminus (C_{0}\cup C_{1})}
⋮
{\displaystyle \vdots }
이 존재한다. (이는 칸토어 집합 의 르베그 측도 가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합 은 곱공간
{
0
,
1
}
ℵ
0
≅
{
0
,
1
}
ℵ
0
×
{
0
,
1
}
ℵ
0
=
⋃
j
∈
{
0
,
1
}
ℵ
0
(
{
0
,
1
}
ℵ
0
×
{
j
}
)
{\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}\cong \{0,1\}^{\aleph _{0}}\times \{0,1\}^{\aleph _{0}}=\bigcup _{j\in \{0,1\}^{\aleph _{0}}}(\{0,1\}^{\aleph _{0}}\times \{j\})}
과 위상 동형 이므로, 각
C
i
{\displaystyle C_{i}}
는 칸토어 집합과 위상 동형 인
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
개의 서로소 집합들
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}}
의 합집합이다.
C
i
=
⋃
j
<
2
ℵ
0
C
i
j
{\displaystyle C_{i}=\bigcup _{j<2^{\aleph _{0}}}C_{ij}}
임의의 전단사 함수
ϕ
i
j
:
C
i
j
→
R
{\displaystyle \phi _{ij}\colon C_{ij}\to \mathbb {R} }
들을 취하자. 다음 함수를 정의하자.
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
{
ϕ
i
j
(
x
)
x
∈
C
i
j
0
x
∉
C
0
∪
C
1
∪
⋯
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi _{ij}(x)&x\in C_{ij}\\0&x\not \in C_{0}\cup C_{1}\cup \cdots \end{cases}}}
그렇다면,
f
{\displaystyle f}
는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합
C
⊂
R
∖
(
C
0
∪
C
1
∪
⋯
)
{\displaystyle C\subset \mathbb {R} \setminus (C_{0}\cup C_{1}\cup \cdots )}
이 존재하기 때문이다).[ 2] :490, Example 2.8
실수의 (공집합 이 아닌) 완전 집합 의 집합을
A
⊂
P
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}
로 표기하자. 또한,
A
×
R
=
{
(
P
i
,
y
i
)
:
i
<
2
ℵ
0
}
{\displaystyle {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} =\{(P_{i},y_{i})\colon i<2^{\aleph _{0}}\}}
이라고 하자. (실수의 닫힌집합 의 수는
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동 하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서,
|
A
|
=
2
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {A}}|=2^{\aleph _{0}}}
이다.) 실수의 완전 집합 의 크기는 항상
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
이므로, 초한 귀납법 을 통해 다음과 같은 실수 집합
{
x
i
:
i
<
2
ℵ
0
}
⊂
R
{\displaystyle \{x_{i}\colon i<2^{\aleph _{0}}\}\subset \mathbb {R} }
을 취할 수 있다.
x
i
∈
P
i
∖
{
x
j
:
j
<
i
}
{\displaystyle x_{i}\in P_{i}\setminus \{x_{j}\colon j<i\}}
이제,
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
{
y
i
x
=
x
i
0
x
≠
x
i
∀
i
<
2
ℵ
0
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}y_{i}&x=x_{i}\\0&x\neq x_{i}\forall i<2^{\aleph _{0}}\end{cases}}}
라고 하자. 그렇다면,
f
{\displaystyle f}
는 완전 어디서나 전사 함수이다.[ 2] :492, Example 2.12
일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 장 가스통 다르부 가 1875년에 지적하였다.[ 1]
↑ 가 나 다 라 마 바 Bernardi, Claudio (2017). “Graphs of real functions with pathological behaviors”. 《Soft Computing》 (영어) 21 : 11–15. arXiv :1602.07555 . doi :10.1007/s00500-016-2342-4 . ISSN 1432-7643 . Zbl 1382.26004 .
↑ 가 나 다 Fenoy-Muñoz, Mar; Gámez-Merino, José Luis; Muñoz-Fernández, Gustavo A.; Sáez-Maestro, Eva (2017). “A hierarchy in the family of real surjective functions”. 《Open Mathematics》 (영어) 15 (1): 486–501. doi :10.1515/math-2017-0042 . ISSN 2391-5455 . Zbl 1362.26003 .
↑ 가 나 다 라 마 바 사 Bernal-González, Luis; Pellegrino, Daniel; Seoane-Sepúlveda, Juan B. (2014). “Linear subsets of nonlinear sets in topological vector spaces”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 51 : 71–130. doi :10.1090/S0273-0979-2013-01421-6 . ISSN 0273-0979 . MR 3119823 . Zbl 1292.46004 .
↑ 가 나 Ciesielski, K. C.; Gámez-Merino, J. L.; Mazza, L.; Seoane-Sepúlveda, J. B. (2017). “Cardinal coefficients related to surjectivity, Darboux, and Sierpiński-Zygmund maps”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 145 : 1041–1052. doi :10.1090/proc/13294 . ISSN 0002-9939 . MR 3589304 . Zbl 1357.26005 .
↑ Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.